1990 Tekirdağ doğumlu olan Alper Çankaya, lise eğitimini Ankara'da tamamladı. 2009 yılında başladığı Gazi Üniversitesi İktisat Bölümünü 2012 yılında yarıda bıraktı ve Bilkent Üniversitesi Tiyatro Bölümüne girdi.
Öğrencilik yıllarında Bilkent Tiyatrosu'nda sahnelenen birçok oyunda rol aldı. Burada, Aleksey Burago, Daniel Irizarry, Erdal Küçükkömürcü, Jason Hale, Işıl Kasapoğlu, Zeynep Ekin Öner gibi birçok yerli ve yabancı yönetmenle çalışma fırsatı yakaladı. John Uecker’ın Method Acting, Susan Main'in Linklater Voice Seminerlerine katıldı.
2016 yazında Shangai Theatre Academy'de burslu olarak geleneksel Çin operası eğitimi aldı. 2015-2017 yılları arasında Bilkent Çocuk Tiyatrosu'nda eğitmenlik ve reji asistanlığı görevlerinde bulundu.
2017 yılında Bilkent Üniversitesi Tiyatro bölümünden mezun oldu ve aynı yıl sınıf arkadaşlarıyla birlikte Ankara'da "Sahne 367"yi kurdu.
Alper Çankaya, tiyatro çalışmaları yanı sıra 2018 yılından beri "Vatanım Sensin", "Baba", "Biz Kimden Kaçıyorduk Anne?", "Cam Perde" gibi çeşitli film ve dizilerde yer aldı. Çankaya ayrıca, "Cam Perde" filmindeki performansıyla 42. İstanbul Film Festivali'nde 'En İyi Erkek Oyuncu' ödülüne layık görüldü.
